দয়াল কৃষ্ণ সানা, বিশেষ প্রতিনিধি, খুলনা।

নাম্বার প্যাটার্ন (Number Patterns)

987654321 বা 123456789 এই সংখ্যা দুইটি ভিন্ন ভিন্ন ভাবে কত বার সাজানো যাবে ?

আর কতবার বা সব কয়বার কি প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

এই প্রশ্নের উত্তর খুব কঠিন নয়। একটু বুদ্ধি করলেই সহজে এর উত্তর দেওয়া সম্ভব। সংখ্যা দুটি যেভাবে সাজানো আছে সেভাবে ধরে নিয়ে বা বিবেচনায় নিয়ে প্রথম অঙ্কটিকে 9 ভাবে সাজানো যায়।

তাহলে দ্বিতীয় অঙ্কটিকে কতভাবে সাজানো যাবে ?

দ্বিতীয় অঙ্কটিকে 8 ভাবে সাজানো যাবে , তৃতীয় অঙ্কটিকে 7 ভাবে সাজানো যাবে । এভাবে সবগুলো অঙ্ককে সর্বমোট সাজানো যাবে 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362,880 ভাবে ।

দ্বিতীয় সংখ্যার ক্ষেত্রে একই কথা বলা যায় । এক্ষেত্রে সবগুলো অঙ্ককে সর্বমোট সাজানো যাবে 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362,880 ভাবে ।

তাহলে আমরা প্রথম প্রশ্নের উত্তর পেলাম।

এখন দ্বিতীয় প্রশ্ন হলো সংখ্যা দুইটি 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিনা ?

আমরা জানি, কোন সংখ্যায় ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল যদি 3 দ্বারা বিভাজ্য হয় তাহলে উক্ত সংখ্যাটি 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

এখন দেখা যাক প্রদত্ত সংখ্যা দুটির ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিনা ?

987654321 এর অঙ্কগুলোর যোগফল = 9+8+7+6+5+4+3+2+1

= 45 যা 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ।

আবার, 123456789 এর অঙ্কগুলোর যোগফল = 1+2+3+4+5+6+7+8+9

= 45 যা 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ।

সুতরাং একথা বলাই যায় , সংখ্যা দুটিতে ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর ক্রম যতই পরিবর্তন বা এলোমেলো করে দেওয়া হোক না কেন, প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোর সবই 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

এখন প্রশ্ন হলো কোন সংখ্যা 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিনা তার জন্য যে ফর্মুলাটা ব্যবহার করলাম , এটি কেন এবং কিভাবে কাজ করে ?

এই বিষয়টি বোঝার জন্য আমরা একটি সংখ্যা বিবেচনা করি। যেমনঃ 1000 p + 100 q + 10 r + s . এই সংখ্যাটিকে দুটি আলাদা সংখ্যার সমষ্টি হিসেবে বিবেচনা করি –

(i) 999 p + 99 q + 9 r এবং

(ii) p + q + r + s

প্রথমত (i) সংখ্যাটি 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে । এক্ষেত্রে p , q , r ও s এর মান যাই হোক না কেন ।

দ্বিতীয়ত (i) + (ii) নং 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে সেক্ষেত্রে যদি (ii) নং 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

এখন আমরা p , q , r ও s এর ভিন্ন ভিন্ন মান বিবেচনা করি। p = 3, q = 4, r = 5 এবং s = 6

তাহলে, p + q + r + s = 3 + 4 +5 + 6

= 18 যা 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ।

আবার, 1000 p + 100 q + 10 r + s = 1000.3 + 100.4 + 10.5 +6

= 3000 + 400 + 50 + 6

= 3456 যা 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য । কেননা 3 + 4 +5 + 6 = 18 যা 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ।

[999 p + 99 q + 9 r = 999 . 3 + 99 .4 + 9 .5 + 6 = 2997 + 396 + 45 + 6 = 3444 যা 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য । ]

মোঃ আব্দুল কাদের সুমন

সহকারী শিক্ষক (গণিত),

রোটারী স্কুল, খালিশপুর , খুলনা।